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对于无约束的光滑函数来说，求极值的通用方法自然是求导（梯度）并让导数等于零了。那带等式约束的极值问题呢？很多读者应该也不陌生，标准方法是拉格朗日乘子法。然而，拉格朗日乘子总让人觉得是一种纯粹的代数技巧，没有求无约束极值时那种微扰分析的直观感觉。 这篇文章我们就来尝试一下：如果将无约束极值的微扰思想贯彻到约束优化中，会得到什么结果？ 驻点条件 首先来重温一下，为什么梯度等于零就是无约束极值的必要条件（驻点条件）。考虑目标函数$f(\boldsymbol{x})$，其中$\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^d$，我们想要求$f(\boldsymbol{x})$的最小值点，我们在$\boldsymbol{x}$附近做一
阅读原文 · 苏剑林
向阳乔木 · deepseek-v4-1-flash-261017
拉格朗日乘子法很多人都会用，但总觉得它像变魔术：凭空引入一组乘子，算出结果还挺对。相比之下，无约束求极值时“梯度为零”的推导有清晰的微扰直觉，能让人真正理解为什么。这篇文章想试试，把微扰的思路硬套到等式约束优化上，看能不能推出同样的东西。 先说无约束的情况，重温一下驻点条件的来历。 对目标函数 $f(\boldsymbol{x})$，$\boldsymbol...